Když si vzpomenu na svoje gymnazijní léta, musím konstatovat, že se mi geometrie příliš nelíbila. Ani na VŠ jsem si v ní moc neliboval.

Na gymplu jsem ji zatím učil dvakrát a musím konstatovat, že je to asi matematicky nejhezčí (ale pro studenty asi nejtěžší) pasáž, která se na gymnáziu učí. Musí se v ní hodně přemýšlet a špatně se to učí nazpaměť. Asi pro to se příliš nevyskytuje v přijímačkách a často se při výuce přeskakuje a nebo se bere dost povrchně. Sebekriticky musím přiznat, že přes dva podniknuté pokusy, jsem zatím naučil geometrii dobře asi jenom sebe.

V současné době probíhá můj třetí pokus – opakujeme geometrii (spíše ji však znovu a fakticky poprvé pořádně probíráme) ve dvouletém matematickém semináři ve třeťáku.

Jednou z částí geometrie, jsou důkazové úlohy v první části učebnice. Právě matematické dokazování je podle mě příklad, na kterém se děti můžou naučit myslet. Problém při výuce je bohužel v tom, že každý z nich uvažuje jinak rychle, zatímco někteří jsou dávno hotoví, jiní vůbec neví a v okamžiku, kdy řeknete výsledek je příklad najednou strašně rychle hotový a jasný. Ti, co na něj nepřišli sami, však přichází o to podstatně – samostatné nalezení cesty od zadání k výsledku.

Když jsem o tom přemýšlel napadlo aplikovat vylepšený „nakopávací“ systém, který jsem poměrně úspěšně zkoušel v kvartě při výuce slovních úloh. Při nakopávání neřeknete dětem výsledek, ale pouze jim radíte. Můžete jim tak pomoc překonat místa, na kterých se zasekli, a zachránit pro ně alespoň část přemýšlení.

Vylepšení spočívalo v tom, že jsem „nakopávání“ neprováděl já s celou třídou, ale každý si ho prováděl podle svého uvážení ze speciálně připravených příkladů.

Obětoval jsem celý jeden víkend a prošel učebnici. Vyřešil jsem skoro všechny příklady, z mého hlediska nejzajímavější jsem vybral a subjektivně roztřídil podle obtížnosti do tří skupin. Příklady jsem poté přepsal do wordovského dokumentu (zde zazipovaný ke stažení). Každý příklad je uveden samostatně na jedné stránce A5. Nejdříve je zadání, potom jsou postupně tři nápovědy a) b) c) a nakonec řešení. Příklad je na stránce zdánlivě podivně roztažený s množstvím vynechaných řádek. Je to kvůli tomu, aby děti neviděli při čtení zadání nápovědy a řešení.

Vytisknutý dokument totiž rozstříháte na jednotlivé stránky (na každé je jeden příklad) a každou z nich složíte do papírové harmoniky tak, aby na vrchu bylo zadání a každá nápověda (i řešení) byla uvnitř jednoho přeložení. Student si vezme harmoniku, přečte zadání a řeší příklad. Pokud se zasekne a neví, jak dál může nahlédnout do prvního přeložení a přečíst si první nápovědu. Pokud ani ta nepomůže, může se podívat na druhou či třetí. nakonec si může přečíst řešení (to samozřejmě nemusí být jediné správné). Já osobně jsem si to vytisknul čtyřikrát a nechal s to přeložit od jiné třídy, kterou jsem suploval. Trvalo to asi deset minut. Přeložené příklady jsem strčil do krabice a z té si studenti podle svého uvážení při hodině vybírali. Funguje to samozřejmě jenom, když studenti nepodvádějí a nekoukají se na nápovědy nebo řešení hned (tím ovšem nic nezískají, protože se pomocí papírků mají naučit přemýšlet). Myslím, že to fungovalo docela obstojně.

Uvedený systém si vyloženě koleduje o převedení do html. Nakonec jsem to udělal, i když jsem jenom upravil a rozstříhal soubor, který z původního souboru do html vyexportoval Word. Vzniklé html je tragické a zbytečně velké, ale protože je tam spousta vzorců, nechtěl jsem to dělat ručně. Listování v papírové harmonice nahrazuje klikání na odkazy s nápovědami nebo řešením (otevírají se v novém okně). Stránka se zadáním je zde.

Pokud byste chtěli všechny příklady stáhnout a řešit doma, stáhněte tenhle archív, kde jsou všechny html soubory i obrázky. Stačí to rozpakovat a otevřít soubor zadani.htm.

Několik poznámek k metodologii

Neexistuje jednoznačný postup, který by říkal, jak se spolehlivě dostat k důkazu nějaké matematické věty. To je asi důvod, proč je to pro většinu lidí tak těžké. V té nejednoznačnosti a nejistotě je skrytá i obrovská krása a hlavně význam důkazů. Vyžadují totiž orientaci a tvořivost.

Přesto existují některé zásady, které mohou hledání důkazu ulehčit, Vyžadovaly by sice několikastránkové pojednání s příklady, ale to zatím nemám. Alespoň pár poznámek.

Provést důkaz znamená v podstatě najít cestu od toho, co znám v zadání k tomu, co mám dokázat. Při hledání takových cest hraje obrovskou roli zkušenost a intuice, které Vám řeknou kudy stojí za to se vydat a kudy ne.

1. Pokud se Vám něco dokázat podaří, nesnažte si zapamatovat celý důkaz. Snažte si pamatovat fígle, které Vám umožnili ho objevit, myšlenky a nápady, které Vám ukázaly cestu.
2. Pokud nevíte kam dál zkuste dokázat všechno, co ze zadání dokázat dokážete. Tím se zkracuje vzdálenost, která chybí k důkazu a je větší pravděpodobnost, že ho objevíte.
3. Můžete to zkoušet i z druhé strany. Zkuste se vydat nejen od zadání k dokazované větě, ale i od této věty k zadání.
4. Využívejte speciálních vlastností zadaných útvarů. Například při dokazování věty o středových a obvodových úhlech, bude určitě rozumné použít vlastnosti kružnice a fakt, že obvodový i středový úhel jsou s ní svázány.
5. Zkoušejte důkaz pro jednodušší případy.
6. Zkuste najít podobnost s jiným důkazem, který jste vyřešili.
7. Nepoužívejte důkazy pomocí speciální symetričtějších případů. Například dokazovat větu pro obecný trojúhelník pomocí rovnostranného trojúhelníka je velice těžké. Rovnostranný trojúhelník má spoustu dalších vlastností, které obecný nemá a většinou, nějaké z nich do důkazu zapletete. pak ovšem nebude platit pro obecný trojúhelník. Často naopak může pomoci pokus s extrémními případy, hlavně opačně extrémními.

Přeju mnoho úspěchů.

Poslední změna

12.5.2002